R 常態性檢定教學與範例

以範例說明在 R 中如何使用資料的 QQ 圖形與常態性檢定，判斷資料是否來自於常態分佈。

產生測試資料

這裡我們產生一組常態分佈的資料 x，以及一組不是常態分佈的資料 y：

# 設定亂數種子
set.seed(3)

# 常態分佈
x = rnorm(100, 8, 2)

# 不是常態分佈
y = rweibull(100, 2, 6)

使用直方圖看一下產生的資料狀況：

# 載入 ggplot2 套件
library(ggplot2)

# 畫出 x 的直方圖
ggplot(data.frame(x=x), aes(x)) + geom_histogram()

從 x 的直方圖看起來，它雖然是從常態分佈產生的，但是可能運氣不好，剛好資料的分佈不是很漂亮。

# 畫出 y 的直方圖
ggplot(data.frame(x=y), aes(x)) + geom_histogram()

y 是從韋伯分佈產生的，左右不對稱。

接下來我們就要開始用各種方式來檢查 x 與 y 是否來自於常態分佈。

繪製 QQ 圖

通常在一開始拿到資料的時候，都會畫一下 QQ 圖（quantile-quantile plot），這種圖形可用來比較資料與常態分佈之間的差異，圖中那一條直線是理論值，如果是完美的常態分佈，所有的點就都會落在直線上。

# 畫出 x 的 QQ 圖
ggplot(data.frame(x=x), aes(sample=x)) + stat_qq() + stat_qq_line()

從 QQ 圖看起來，x 的分佈不是非常接近常態分佈（雖然它實際上是）。

#畫出 y 的 QQ 圖
ggplot(data.frame(x=y), aes(sample=x)) + stat_qq() + stat_qq_line()

y 的 QQ 圖看起來跟 x 的 QQ 圖似乎差不多。

Shapiro-Wilk 常態性檢定

在 R 中若要進行常態性檢定，最常用的方式就是 Shapiro-Wilk 檢定，它是 R 內建的統計檢定，不需要安裝套件即可使用：

# Shapiro-Wilk 常態性檢定
shapiro.test(x)

        Shapiro-Wilk normality test

data:  x
W = 0.97928, p-value = 0.1167

x 經過檢定後，p-value 為 0.1167，不拒絕虛無假設（也就是符合常態分佈）。

# Shapiro-Wilk 常態性檢定
shapiro.test(y)

        Shapiro-Wilk normality test

data:  y
W = 0.96226, p-value = 0.005847

而在 y 的檢定結果中，p-value 非常小，所以拒絕虛無假設，表示 y 不符合常態分佈。

nortest 套件

除了 Shapiro-Wilk 檢定之外，如果想嘗試其他的統計檢定方法的話，可以安裝 nortest 套件，這個套件中提供了好幾種專門用於常態性檢定的方法。

# 安裝 nortest 套件
install.packages("nortest")

# 載入 nortest 套件
library(nortest)

安裝並載入 nortest 套件之後，就可以使用各種的檢定函數，以下是這些檢定函數的用法。

Anderson-Darling 檢定

Anderson-Darling 常態性檢定可以使用 ad.test 函數：

# Anderson-Darling 檢定
ad.test(x)

        Anderson-Darling normality test

data:  x
A = 0.70069, p-value = 0.06534

# Anderson-Darling 檢定
ad.test(y)

        Anderson-Darling normality test

data:  y
A = 1.0642, p-value = 0.008167

Cramer-von Mises 檢定

Cramer-von Mises 常態性檢定可以使用 cvm.test 函數：

# Cramer-von Mises 檢定
cvm.test(x)

        Cramer-von Mises normality test

data:  x
W = 0.10654, p-value = 0.08997

# Cramer-von Mises 檢定
cvm.test(y)

        Cramer-von Mises normality test

data:  y
W = 0.17758, p-value = 0.01014

Lilliefors 檢定

Lilliefors 常態性檢定可以使用 lillie.test 函數：

# Lilliefors 檢定
lillie.test(x)

        Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test

data:  x
D = 0.085681, p-value = 0.06743

# Lilliefors 檢定
lillie.test(y)

        Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test

data:  y
D = 0.10268, p-value = 0.01124

Pearson Chi-Squared 檢定

Pearson Chi-Squared 常態性檢定可以使用 pearson.test 函數：

# Pearson Chi-Squared 檢定
pearson.test(x)

        Pearson chi-square normality test

data:  x
P = 18.04, p-value = 0.05429

# Pearson Chi-Squared 檢定
pearson.test(y)

        Pearson chi-square normality test

data:  y
P = 20.64, p-value = 0.02375

Shapiro-Francia 檢定

Shapiro-Francia 常態性檢定可以使用 sf.test 函數：

# Shapiro-Francia 檢定
sf.test(x)

        Shapiro-Francia normality test

data:  x
W = 0.98175, p-value = 0.1579

# Shapiro-Francia 檢定
sf.test(y)

        Shapiro-Francia normality test

data:  y
W = 0.96481, p-value = 0.01071

x 經過各種常態性的檢定之後，雖然都不拒絕虛無假設，但是得到的 p-value 都在 0.05 附近，所以只能勉強算是常態分佈。

而 y 的檢定結果都是拒絕虛無假設，大部分的 p-value 也不會太大，所以比較可以確定它不是常態分佈。

參考資料：RPubs、datascience+